Question

2．已知函數(shù)f（x）=log₂x，x∈[2，8]，函數(shù)g（x）=[f（x）]²-2a•f（x）+3的最小值為h（a）．
（1）求h（a）；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n，同時(shí)滿足以下條件：①m＞n＞3；②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)，值域?yàn)閇n²，m²]．若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)t=f（x），利用換元法，可將已知函數(shù)化為一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，即可得到h（a）的解析式．
（2）由（1）中h（a）的解析式，易得在h（a）在（3，+∞）上為減函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)值域?yàn)閇n²，m²]構(gòu)造關(guān)于m，n的不等式組，如果不等式組有解，則存在滿足條件的m，n的值；若無解，則不存在滿足條件的m，n的值．

解答 解：（1）令t=f（x），
∵函數(shù)f（x）=log₂x，x∈[2，8]，
∴t∈[1，3]，y=g（x）=t²-2at+3，
當(dāng)a≤1時(shí)，y=t²-2at+3在[1，3]上為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)t=1時(shí)，h（a）=4-2a，
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，y=t²-2at+3在[1，a]上為減函數(shù)，在[a，3]上為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)t=a時(shí)，h（a）=-a²+3，
當(dāng)a≥2時(shí)，y=t²-2at+3在[1，3]上為減函數(shù)，此時(shí)當(dāng)t=2時(shí)，h（a）=7-4a，
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}4-2a，a≤1\\-{a}^{2}+3，1＜a＜2\\ 7-4a，a≥2\end{array}\right.$，
（2）由（1）得m＞n＞3時(shí)，h（a）在定義域?yàn)閇n，m]中為減函數(shù)，
若此時(shí)值域?yàn)閇n²，m²]．
則$\left\{\begin{array}{l}7-4n={m}^{2}\\ 7-4m={n}^{2}\end{array}\right.$，
此時(shí)n+m=4，與m＞n＞3矛盾，故不存在滿足條件的m，n的值；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．