Question

4．記S_n=1+2+3+…+n，T_n=1²+2²+3²+…+n²．
（Ⅰ）試計(jì)算$\frac{S_1}{T_1}$，$\frac{S_2}{T_2}$，$\frac{S_3}{T_3}$的值，并猜想$\frac{S_n}{T_n}$的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的猜想試計(jì)算T_n的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明之．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代值計(jì)算即可，由此猜想$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3}{2n+1}（{n∈{N^*}}）$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想${T_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$均成立，利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成

解答 解：（Ⅰ）$\frac{S_1}{T_1}=\frac{1}{1^2}=1=\frac{3}{3}$$\frac{S_2}{T_2}=\frac{1+2}{{{1^2}+{2^2}}}=\frac{3}{5}$$\frac{S_3}{T_3}=\frac{1+2+3}{{{1^2}+{2^2}+{3^2}}}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$
猜想：$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3}{2n+1}（{n∈{N^*}}）$，
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的猜想：$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3}{2n+1}（{n∈{N^*}}）$
又${S_n}=1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
故${T_n}={S_n}•\frac{2n+1}{3}=\frac{n（n+1）}{2}•\frac{2n+1}{3}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$（n∈N^*），
證明：①當(dāng)（Ⅱ）時(shí)，左邊T₁=1，右邊=$\frac{1×2×3}{6}=1$左邊=右邊，猜想成立．
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立．即${T_k}=\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，${T_{k+1}}={T_k}+{（k+1）^2}$=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}+{（k+1）^2}$，
=$\frac{{（k+1）[{k（2k+1）+6（k+1）}]}}{6}$=$\frac{{（k+1）（{2{k^2}+7k+6}）}}{6}$，
=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$=$\frac{{（k+1）[{（k+1）+1}][{2（{k+1}）+1}]}}{6}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立．
由①②知對(duì)于任意的n∈N^*，${T_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$均成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法．考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、推理論證能力、化歸轉(zhuǎn)化思想．