Question

若函數(shù)f（x）=（a-1）log₂（3-a^x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．a(chǎn)＞1

B．0＜a＜3且a≠1

C．a(chǎn)＞3

D．1＜a＜3

Answer 1

分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，分別討論a，建立條件關(guān)系即可求出a的取值范圍．

解答：解：①若a＞1，則a-1＞0，y=g（x）=3-a^x為減函數(shù)，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，
此時(shí)f（x）=（a-1）log₂（3-a^x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
∴滿(mǎn)足g（1）＞0即可，即g（1）=3-a＞0，
解得1＜a＜3．
②若0＜a＜1，則a-1＜0，y=g（x）=3-a^x為增函數(shù)，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，
此時(shí)f（x）=（a-1）log₂（3-a^x）（a＞0且a≠1）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
∴滿(mǎn)足g（0）＞0即可，即g（0）=3-1=2＞0恒成立，
∴此時(shí)0＜a＜1．
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍是1＜a＜3或0＜a＜1．即0＜a＜3且a≠1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力．