Question

11．已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過原點(diǎn)任作一條不與x軸重合的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，若x軸上存在點(diǎn)C使得k_CA•k_CB=-$\frac{1}{2}$恒成立，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 通過設(shè)A（acosα，bsinα）、B（-acosα，-bsinα），設(shè)C（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，利用斜率計算公式及平方關(guān)系計算可知k_CA•k_CB=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，進(jìn)而可知a²=2b²，利用離心率公式計算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，設(shè)A（acosα，bsinα）、B（-acosα，-bsinα），
設(shè)C（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
∴k_CA•k_CB=$\frac{y-bsinα}{x-acosα}$•$\frac{y+bsinα}{x+acosα}$
=$\frac{{y}^{2}-^{2}si{n}^{2}α}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=$\frac{（^{2}-\frac{^{2}}{{a}^{2}}•{x}^{2}）-^{2}si{n}^{2}α}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=$\frac{^{2}co{s}^{2}α-\frac{^{2}}{{a}^{2}}•{x}^{2}}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=-$\frac{\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α）}{{x}^{2}-{a}^{2}co{s}^{2}α}$
=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
又∵k_CA•k_CB=-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴a²=2b²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{2^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴e=$\sqrt{\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．