Question

定義滿足不等式|x-A|＜B（A∈R，B＞0）的實數(shù)x的集合叫做A的B 鄰域．若a+b-t（t為正常數(shù)）的a+b鄰域是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間，則a²+b²的最小值為

t 2

2

．

Answer 1

分析：先根據(jù)條件求出-t＜x＜2（a+b）-t；再結(jié)合鄰域是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間得到a+b=t，最后結(jié)合基本不等式即可求出a²+b²的最小值．

解答：解：因為：A的B鄰域在數(shù)軸上表示以A為中心，B為半徑的區(qū)域，
∴|x-（a+b-t）|＜a+b⇒-t＜x＜2（a+b）-t，
而鄰域是一個關(guān)于原點對稱的區(qū)間，所以可得a+b-t=0⇒a+b=t．
又因為：a²+b²≥2ab⇒2（a²+b²）≥a²+2ab+b²=（a+b）²=t²．
所以：a²+b²≥

t 2

2

．
故答案為：

t 2

2

．

點評：本小題主要考查絕對值不等式的解法、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力與化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．