Question

已知數(shù)列{a_n},{b_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,設(shè)c_n=(n∈N^*).

(1)數(shù)列{c_n}是否為等比數(shù)列?證明你的結(jié)論.

(2)設(shè)數(shù)列{lna_n},{lnb_n}的前n項和分別為S_n,T_n.若a₁=2,,求數(shù)列{c_n}的前n項和.

Answer 1

答案：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎(chǔ)知識,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

解:(1){c_n}是等比數(shù)列,                                                        

證明:設(shè){a_n}的公比為q₁(q₁＞0),{b_n}的公比為q₂(q₂＞0),則

,故{c_n}為等比數(shù)列.                      

(2)數(shù)列{lna_n}和{lnb_n}分別是公差為lnq₁和lnq₂的等差數(shù)列.

由條件得,

即                                              

故對n=1,2,…,

(2lnq₁-lnq₂)n²+(4lna₁-lnq₁-2lnb₁+lnq₂)n+(2lna₁-lnq₁)=0.

于是

將a₁=2代入得q₁=4,q₂=16,b₁=8.                                              

從而有c_n==4ⁿ.

所以數(shù)列{c_n}的前n項和為4+4²+…+4ⁿ=(4ⁿ-1).