Question

已知函數(shù)f（x）=ax-2

4-ax

-1（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）由4-a^x≥0，得a^x≤4．當(dāng)a＞1時(shí)，x≤log_a4；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x≥log_a4．
即當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?∞，log_a4]；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)閇log_a4，+∞）．
令t=

4-ax

，則0≤t＜2，且a^x=4-t²，∴f（x）=g（t）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
當(dāng)t≥0時(shí)，g（x）是t的單調(diào)減函數(shù)，∴g（2）＜g（t）≤g（0），即-5＜f（x）≤3，∴函數(shù)f（x）的值域是（-5，3]．
（2）若存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)于任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0，則區(qū)間[-1，+∞）是定義域的子集．
由（1）知，a＞1不滿(mǎn)足條件；所以0＜a＜1，且log_a4≤-1，即

1

4

≤a＜1．
令t=

4-ax

，由（1）知，f（x）=4-t²-2t-1=-（t+1）²+4，
由f（x）≤0，解得t≤-3（舍）或t≥1，即有

4-ax

≥1解得a^x≤3，
由題意知對(duì)任意x∈[-1，+∞），有a^x≤3恒成立，因?yàn)?＜a＜1，所以對(duì)任意x∈[-1，+∞），都有a^x≤a^-1．所以有a^-1≤3，解得a≥

1

3

，即

1

3

≤a＜1．∴存在a∈[

1

3

，1)，對(duì)任意x∈[-1，+∞），都有f（x）≤0．