Question

12．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，且過點$（{-1，\frac{3}{2}}）$，橢圓C的右頂點為A．
（Ⅰ）求橢圓的C的標準方程；
（Ⅱ）已知過點$B（{\frac{1}{2}，0}）$的直線交橢圓C于P，Q兩點，且線段PQ的中點為R，求直線AR的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意，$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得a，$b=\sqrt{3}$，c，可得橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）依題意，直線PQ過點$（{\frac{1}{2}，0}）$．①當直線PQ的斜率不為0時，可設(shè)其方程為$x=my+\frac{1}{2}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{1}{2}\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去x得4（3m²+4）y²+12my-45=0，設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₀，y₀），直線AR的斜率為k，利用韋達定理表示斜率．在求范圍．②當直線PQ的斜率為0時，線段PQ的中點R與坐標原點重合，AR的斜率為0．

解答 解：（Ⅰ）依題意，$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，$b=\sqrt{3}$，c=1，
故橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）依題意，直線PQ過點$（{\frac{1}{2}，0}）$．①當直線PQ的斜率不為0時，可設(shè)其方程為$x=my+\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=my+\frac{1}{2}\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$消去x得4（3m²+4）y²+12my-45=0，
設(shè)點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x₀，y₀），直線AR的斜率為k，
故${y_1}+{y_2}=-\frac{3m}{{3{m^2}+4}}$，${y_0}=-\frac{3m}{{2（{3{m^2}+4}）}}$，
當m=0時，k=0，
當m≠0時，$k=\frac{1}{{4m+\frac{4}{m}}}$，因為$|{4m+\frac{4}{m}}|=4|m|$$+\frac{4}{|m|}≥8$，故$0＜\frac{1}{{4|m|+\frac{4}{|m|}}}≤\frac{1}{8}$，
當且僅當$4|m|=\frac{4}{|m|}$，即|m|=1時等號成立．
故$0＜k≤\frac{1}{8}$，故$\frac{1}{8}≤k≤\frac{1}{8}$且k≠0．
②當直線PQ的斜率為0時，線段PQ的中點R與坐標原點重合，AR的斜率為0．
綜上所述，直線AR的斜率的取值范圍為$[{-\frac{1}{8}，\frac{1}{8}}]$．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．