Question

16．△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊．
（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，求$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$的值；
（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求角B的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a，b，c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，由三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦函數(shù)公式即可得解．
（Ⅱ）由a、b、c成等比數(shù)列，則b²=ac，由余弦定理和基本不等式，即可得到B的范圍；

解答 解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
∴2sinB=sinA+sinC，
∴2sin（A+C）=sinA+sinC，
∵sinB=sin（A+C）≠0，
∴$\frac{sinA+sinC}{sin（A+C）}$=2…（5分）
（Ⅱ）∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，
∴∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$，
故∠B的取值范圍是$（0，\frac{π}{3}]$…（10分）

點評 本題考查余弦定理、正弦定理的運用，等差數(shù)列，等比數(shù)列的性質(zhì)及運用，考查基本不等式的運用求最值，屬于中檔題．