Question

已知函數f（x）=2cosx（sinx+

3

cosx）．
（1）求函數f（x）的值域最小正周期；
（2）若隨任意函數x∈[0，

π

6

]，則|f（x）-

3

|+2＞m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）化簡可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

，易得值域和最小正周期；
（2）由x∈[0，

π

6

]可得sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]，進而可得f（x）-

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]，由題意可得m的不等式組，解之可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cosx（sinx+

3

cosx）=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

．
∴T=

2π

2

=π．
（2）（2）當x∈[0，

π

6

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[

3

2

，1]
∴f（x）-

3

=2sin（2x+

π

3

）∈[

3

，2]．
由m[f（x）-

3

]+2=0知m≠0，∴f（x）-

3

=-

2

m

，即

3

≤-

2

m

≤2，
解得-

2 3

3

≤m≤-1．即實數m的取值范圍是[-

2 3

3

，-1]

點評：本題考查三角函數的化簡，涉及三角函數的周期性和值域，屬于基本知識的考查．