Question

設a∈R，函數f（x）=2x³-3（a+2）x²+12ax+4，
（1）若x=3是f（x）的一個極值點，求常數a的值；
（2）若f（x）在（-∞，1）上為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=2x³-3（a+2）x²+12ax+4及x=3是f（x）的一個極值點，得f′（3）=0，求出a的值；
（2）若f（x）在（-∞，1）上為增函數，轉化為f′（x）≥0恒成立，x∈（-∞，1），采取分離參數的方法求得a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=6x²-6（a+2）x+12a
∵x=3是f（x）的一個極值點
∴f′（3）=0，即54-18（a+2）+12a=0
解得a=3，經檢驗知，a=3時，x=3是f（x）的一個極值點
∴a=3．

（2）∵f（x）在（-∞，1）上為增函數
∴f′（x）=6x²-6（a+2）x+12a≥0恒成立，x∈（-∞，1）．
即x²+（2-x）a-2x≥0恒成立，
∵x∈（-∞，1）．
∴2-x＞0
∴a≥

2x-x2

2-x

恒成立．
令g（x）=

2x-x2

2-x

=x＜1
∴a≥1．

點評：考查函數在某點取得極值的條件和函數的單調性與導數的關系，在求a的取值范圍時采取的分離參數的方法，轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法．屬中檔題．