Question

15．已知函數(shù)f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定義域為[0，1]，求出g（x）的解析式和g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 利用指數(shù)函數(shù)的性質求出a的值，然后求g（x）的解析式；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，利用換元法轉化為一元二次函數(shù)求最值．

解答 解：∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，
∴3^a+2=9•3^a=18，
即3^a=2，∴a=log₃2，
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x=${3}^{lo{g}_{3}{2}^{x}}$-4^x=2^x-4^x，
∵g（x）=2^x-4^x=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵0≤x≤1，
∴1≤2^x≤2，
∴設t=2^x，則1≤t≤2，
則函數(shù)g（x）等價為h（t）=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴h（t）單調(diào)遞減，
當t=1即x=0時，取得最大值，且為0；
當t=2即x=1時，取得最小值，且為-2．

點評 本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質，利用換元法將函數(shù)轉化為關于t的一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵．