Question

20．若函數(shù)f（x）=（k²+1）lnx-x²在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)便得到導數(shù)$f′（x）=\frac{{k}^{2}+1}{x}-2x≤0$，從而得到k²+1≤2x²，而可求得2x²＞2，從而有k²+1≤2，解該不等式即可得出實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
∴$f′（x）=\frac{{k}^{2}+1}{x}-2x≤0$；
∴k²+1≤2x²；
∵x∈（1，+∞）；
∴2x²＞2；
∴k²+1≤2；
∴-1≤k≤1；
∴實數(shù)k的取值范圍是[-1，1]．
故選A．

點評 考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)導數(shù)符號的關(guān)系，可根據(jù)二次函數(shù)y=2x²在（1，+∞）上的單調(diào)性得出2x²＞2，以及一元二次不等式的解法，注意正確求導．