Question

13．某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù)，且做了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），做出了散點(diǎn)圖（如圖）．

$\overline x$	$\overline y$	$\overline w$	$\sum_{i=1}^{10}{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^{10}{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\overline x）}（{y_i}-\overline y）$	$\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\overline w）}（{y_i}-\overline y）$
1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中w_i=$\frac{1}{x_i^2}，\overline w=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{w_i}$．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與y=c+$\frac1pfrrbj{x^2}$哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋轉(zhuǎn)角x的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）若旋轉(zhuǎn)角x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），（u₃，v₃），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{v}_{i}-\overline{v}）（{u}_{i}-\overline{u}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線型分布作答；
（2）根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于ω的線性回歸方程，再得出y關(guān)于x的回歸方程；
（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件．

解答 解：（1）$y=c+\fractjjdrpj{x^2}$更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開關(guān)旋轉(zhuǎn)角x的回歸方程類型．
（2）由公式可得：$d=\frac{16.2}{0.81}=20，c=20.6-20×0.78=5$，所以回歸方程為y=5+$\frac{20}{{x}^{2}}$．
（3）設(shè)t=kx，則煤氣用量S=yt=kx（5+$\frac{20}{{x}^{2}}$）=5kx+$\frac{20k}{x}$≥2$\sqrt{5kx•\frac{20k}{x}}$=20k，
當(dāng)且僅當(dāng)5kx=$\frac{20k}{x}$時(shí)取“=”，即x=2時(shí)，煤氣用量最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題考查了可化為線性相關(guān)的回歸方程的求解，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．