Question

若等比數(shù)列前n項，2n項，3n項的和分別為S_n,S_2n,S_3n，求證：S_n²+S_2n²=S_n(S_2n+S_3n).

Answer 1

證法一：設此數(shù)列的公比為q,首項為a₁.

當q=1時，則S_n=na₁,S_2n=2na₁,S_3n=3na₁,

S_n²+S_2n²=n²a₁²+4n²a₁²=5n²a₁²,

S_n(S_2n+S_3n)=na₁(2na₁+3na₁)=5n²a₁²,

∴S_n²+S_2n²=S_n(S_2n+S_3n).

當n≠1時，則

S_n=,

S_2n=(1-q²ⁿ),

S_3n=(1-q³ⁿ).

∴S_n²+S_2n²=()²［(1-qⁿ)²+(1-q²ⁿ)²］

=()²(1-qⁿ)²(2+2qⁿ+q²ⁿ).

又S_n(S_2n+S_3n)=()²(1-qⁿ)²(2+2qⁿ+q²ⁿ),

∴S_n²+S_2n²=S_n(S_2n+S_3n).

證法二：根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)，有

S_2n=S_n+qⁿS_n=S_n(1+qⁿ),

S_3n=S_n+qⁿS_n+q²ⁿS_n.

∴S_n²+S_2n²=S_n²+［S_n(1+qⁿ)］²

=S_n²(2+2qⁿ+q²ⁿ).

S_n(S_2n+S_3n)=S_n²(2+2qⁿ+q²ⁿ),

∴S_n²+S_2n²=S_n(S_2n+S_3n).

溫馨提示

    (1)使用等比數(shù)列的前n項和公式時，對于q的取值要分類討論，q=1或q≠1兩種情況都要考慮到.

    (2)利用等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可以簡化運算，優(yōu)化解答過程，一定要熟練掌握，靈活運用.