Question

13．設(shè)f（x）是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[2，3]時，f（x）=x，則x∈[-2，0]時，f（x）的解析式為（　�。�

• A． f（x）=2+|x+1|
• B． f（x）=2-x
• C． f（x）=3-|x+1|
• D． f（x）=2x+4

Answer 1

分析 ①當(dāng)x∈[-2，-1]時，則x+4∈[2，3]，由題意可得：f（x+4）=x+4．再根據(jù)函數(shù)的周期性可得f（x）=f（x+4）=x+4．②當(dāng)x∈[-1，0]時，則2-x∈[2，3]，由題意可得：f（2-x）=2-x．再根據(jù)函數(shù)的周期性與函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的解析式．

解答 解：①當(dāng)x∈[-2，-1]時，則x+4∈[2，3]，
因為當(dāng)x∈[2，3]時，f（x）=x，
所以f（x+4）=x+4．
又因為f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
所以f（x）=f（x+4）=x+4．
所以當(dāng)x∈[-2，-1]時，f（x）=x+4．
②當(dāng)x∈[-1，0]時，則2-x∈[2，3]，
因為當(dāng)x∈[2，3]時，f（x）=x，
所以f（2-x）=2-x．
又因為f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
所以f（-x）=f（2-x）=2-x．
因為函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)R上的偶函數(shù)，
所以f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x．
所以由①②可得當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=3-|x+1|．
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性之間的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，即周期性，奇偶性，單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)．