Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，SA⊥底面ABCD，AB=2，AD=1，，∠BAD=120°，E在棱SD上．
（Ⅰ）當(dāng)SE=3ED時(shí)，求證：SD⊥平面AEC；
（Ⅱ）當(dāng)二面角S-AC-E的大小為30°時(shí)，求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)條件得到CA⊥AD，再結(jié)合SA⊥平面ABCD建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅰ）利用SE=3ED求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，進(jìn)而得到向量的數(shù)量積為0即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）先根據(jù)二面角S-AC-E的大小為30°求出點(diǎn)E的位置，進(jìn)而求出向量AE的坐標(biāo)以及平面CDE法向量的坐標(biāo)，最后代入線面角的計(jì)算公式即可．
解答：解：在平行四邊形ABCD中，∵AB=2，AD=1，∠BAD=120°，
∴CA⊥AD，又SA⊥平面ABCD，
∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AD，AS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），，D（0，1，0）
∵，
∴
∴
（Ⅰ）∵SE=3ED
∴
∵
∴
∴SD⊥平面AEC
（Ⅱ）∵AC⊥平面SAD，SA⊥底面ABCD，
∴AC⊥AE，AC⊥SA
∴∠SAE為二面角S-AC-E的平面角，即∠SAE=30°，此時(shí)E為SD的中點(diǎn)
設(shè)平面CDE的法向量為
計(jì)算可得，
∴
即直線AE與平面CDE所成角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察用空間向量求直線與平面的夾角．解題的關(guān)鍵是要用的點(diǎn)的坐標(biāo)比較多，寫起來(lái)比較繁瑣，注意不要出錯(cuò)．