Question

【題目】一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項數(shù)）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：；為數(shù)表中第行的第個數(shù).

…

…

…

……

（1）求第2行和第3行的通項公式和；

（2）證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求關(guān)于的表達式；

（3）若，，試求一個等比數(shù)列，使得，且對于任意的，均存在實數(shù)，當時，都有.

Answer 1

【答案】（1）。.

（2）見證明；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義即可求出相應的通項公式，（2）根據(jù)條件建立方程關(guān)系即可求出f（i，1）的表達式．（3）根據(jù)條件尋找等比數(shù)列g(shù)（i），即可得到結(jié)論．

（1）

.

（2）由已知，第一行是等差數(shù)列，假設(shè)第行是以為公差的等差數(shù)列，

則由

（常數(shù)）知第行的數(shù)也依次成等差數(shù)列，且其公差為.綜上可得，數(shù)表中除最后2行以外每一行都成等差數(shù)列；

由于，，所以，所以

，由，

得，

于是，

即，又因為，

所以，數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，

所以，，所以.

（3），

，

令，

.

，

，

，

令，則當時，都有，

∴適合題設(shè)的一個等比數(shù)列為.