Question

已知橢圓.,分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),, 分別為橢圓的左,右頂點(diǎn).過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為.

(1)  求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)  直線與橢圓交于,兩點(diǎn), 直線與交于點(diǎn).當(dāng)直線變化時(shí), 點(diǎn)是否恒在一條定直線上?若是,求此定直線方程;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1), . 點(diǎn)在橢圓上,

  ,     

    或(舍去).  .

   橢圓的方程為.                          ………4分

(2)當(dāng)軸時(shí),,, 又,

,  , 聯(lián)立解得.

當(dāng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)時(shí), ,,

, ,聯(lián)立解得.    

若定直線存在,則方程應(yīng)是.                            ………8分 

下面給予證明.

把代入橢圓方程,整理得,

成立, 記, ,則, .

,

當(dāng)時(shí),縱坐標(biāo)應(yīng)相等, , 須

須, 須

而成立.

綜上,定直線方程為  

【解析】(1)根據(jù)條件易求c,然后根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上建立方程即可求解。

（2）本題是探索性問(wèn)題，應(yīng)先假設(shè)存在，然后要對(duì)直線出現(xiàn)的各種情況討論，分類解決。