Question

已知定義在上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，．

（1）求的解析式和值域；

（2）設(shè)，其中常數(shù)．

①試指出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②若當(dāng)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，相應(yīng)的常數(shù)記為，其中．證明：（）．

Answer 1

解：（1）為奇函數(shù)，．

當(dāng)時(shí)，，則，

         

時(shí)，，，，

的值域?yàn)?sub>．          

（2）①函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，方程

有三個(gè)實(shí)根；當(dāng)或時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)

根；當(dāng)或時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根．

（法一）：由，解得，

的值域?yàn)?sub>，只需研究函數(shù)在上的圖象特征．

設(shè)，，，

令，得，．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

又，即，由，，得，

的大致圖象如圖所示．

根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，

直線與函數(shù)的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)

在上僅有一個(gè)零點(diǎn)，記零點(diǎn)為，則分別在區(qū)間、

、上，根據(jù)圖像，方程有兩個(gè)交點(diǎn)，因此

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．         

類似地，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上僅有零點(diǎn)，因此函數(shù)有、、這三個(gè)零點(diǎn)．             

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)是，另一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，因此函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．       

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且這兩個(gè)零點(diǎn)均在內(nèi)，因此函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)．      

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，因此函數(shù)沒有零點(diǎn)． …9分

（法二）： ，令，得，

，．

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，取得極大值．  

（Ⅰ）當(dāng)的極大值，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上無零點(diǎn)，因此函數(shù)無零點(diǎn)．     

（Ⅱ）當(dāng)的極大值，即時(shí)，

，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)有零點(diǎn)．

由圖可知方程有兩不等的實(shí)根，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅲ）當(dāng)的極大值且，

即時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?sub>，，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在存在唯一零點(diǎn)，其中．

由圖可知方程有兩不等的實(shí)根，因此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（Ⅳ）當(dāng)的極大值且，

即時(shí)：

由，得，

由，得，

根據(jù)法一中的證明有．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

，函數(shù)的圖像如圖所示，

函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，其中．

由圖可知方程有兩不等的實(shí)根，因此

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，

，函數(shù)的圖像如圖所示，

函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)．

由圖可知方程有三個(gè)不等的實(shí)根，因此函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)的

圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn)，其中．

由圖可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，因此函數(shù)

有兩個(gè)零點(diǎn)．  

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，，，

函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有

兩個(gè)零點(diǎn)，分別是和，其中．

由圖可知方程有一個(gè)實(shí)根，方程

有兩個(gè)非的不等實(shí)根，因此函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)．   

（ⅴ）當(dāng)時(shí)，，，

函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有兩個(gè)

零點(diǎn)、，其中．

由圖可知方程、都有兩個(gè)不等的實(shí)根，

且這四個(gè)根互不相等，因此函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)．  

綜上可得：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)、時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；    

    當(dāng)時(shí)，函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)；      

當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)．        

②因?yàn)?sub>是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以有，

，，

，

，．      

記，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，即．

故有，則．

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，

（法一）：，    

……

                        ．

綜上，有…，．  

（法二）：當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，    

……

                        ．

綜上，有…，．