Question

選做題
如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點，
AF=AB=BC=FE=AD=1．
（1）求異面直線BF與DE所成的角的大��；
（2）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

Answer 1

解：（1）由題設知，BF∥CE，
所以∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角．
設P為AD的中點，連接EP，PC．
因為FE=∥AP，
所以FA=∥EP，同理AB=∥PC．
又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD．
而PC，AD都在平面ABCD內，
故EP⊥PC，EP⊥AD．
由AB⊥AD，可得PC⊥AD
設FA=a，則EP=PC=PD=a，CD=DE=EC= a，
故∠CED=60°．
所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°．
（2）取CD的中點Q，連接PQ，EQ
由PC=PD，CE=DE
∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP為二面角A﹣CD﹣E的平面角，
由ED=CD= a，
在等邊△ECD中EQ= a
在等腰Rt△CPD中，PQ= a
在Rt△EPQ中，cos∠EQP= ．
故二面角A﹣CD﹣E的余弦值為