Question

8．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$，若使得目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則實數(shù)a的值是（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 畫出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，把目標(biāo)函數(shù)z=ax+y化為y=-ax+z，討論a=0、a＞0和a＜0時，直線y=-ax+z截距取得最大值時對應(yīng)a的值即可．

解答 解：不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ x+y-4≥0\\ 2x-y-5≤0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示：
由z=ax+y得y=-ax+z；
當(dāng)a=0時，直線化為y=z，此時取得最大值的最優(yōu)解只有一個C點，不滿足條件；
當(dāng)a＞0時，直線y=-ax+z截距取得最大值，此時的最優(yōu)解只有一個C點，不滿足條件；
當(dāng)a＜0時，直線y=-ax+z截距取得最大值時，z取的最大值，此時滿足直線y=-ax+z與AC平行，
由直線AC的斜率k=1，解得a=-1；
綜上，滿足條件的a=-1．
故選：D．

點評 本題主要考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是利用z的幾何意義，結(jié)合z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，利用數(shù)形結(jié)合求出答案．