Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求首項(xiàng)a₁
（Ⅱ）證明數(shù)列{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列并求a_n．

Answer 1

分析 （I）S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$（n=1，2，3，…），當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$，解得a₁．
（II）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$-$\frac{1}{3}×{2}^{n}$+$\frac{2}{3}$，化為：a_n=4a_n-1+2ⁿ．變形為${a}_{n}+{2}^{n}$=$4（{a}_{n-1}+{2}^{n-1}）$，即可得出．

解答 （I）解：∵S_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$（n=1，2，3，…），
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{4}{3}{a}_{1}$-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$，解得a₁=2．
（II）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$-$\frac{1}{3}×{2}^{n}$+$\frac{2}{3}$，
可得a_n=$\frac{4}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$×2ⁿ⁺¹+$\frac{2}{3}$-（$\frac{4}{3}{a}_{n-1}$-$\frac{1}{3}×{2}^{n}$+$\frac{2}{3}$），
化為：a_n=4a_n-1+2ⁿ．
∴${a}_{n}+{2}^{n}$=$4（{a}_{n-1}+{2}^{n-1}）$，
∴數(shù)列{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4．
∴a_n+2ⁿ=4ⁿ，
∴a_n=4ⁿ-2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．