Question

圖1是某斜拉式大橋圖片，為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進行了簡化，取其部分可抽象成圖2所示的模型，其中橋塔AB、CD與橋面AC垂直，通過測量得知AB=50m，AC=50m，當P為AC中點時，∠BPD=45°．
（1）求CD的長；
（2）試問P在線段AC的何處時，∠BPD達到最大．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（1）設(shè)∠BPA=α，∠DPC=β，CD=h，則tanα=2，tanβ=

h

25

，利用∠BPD=45°，可求CD的長；
（2）設(shè)AP=x（0＜x＜50），則tanα=

50

x

，tanβ=

75

50-x

，可得tan∠BPD，換元，利用基本不等式，即可求出∠BPD最大，從而可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)∠BPA=α，∠DPC=β，CD=h，則tanα=2，tanβ=

h

25

，
由題意得，tan(α+β)=

2+ h 25

1-2• h 25

=-1，解得CD=h=75．…（6分）
（2）設(shè)AP=x（0＜x＜50），則tanα=

50

x

，tanβ=

75

50-x

，
∴tan∠BPD=-tan(α+β)=-

50 x + 75 50-x

1- 50 x • 75 50-x

=

25(x+100)

x2-50x+50•75

，…（8分）
∵x²-50x+50•75＞0，∴tan∠BPD＞0，即∠BPD為銳角，
令t=x+100∈（100，150），則x=t-100，
∴tan∠BPD=

25t

(t-100)2-50(t-100)+50•75

=

25t

t2-250t+50•375

，
∴tan∠BPD=

25

t+ 50•375 t -250

≤

25

2 t• 50•375 t -250

=

1

2 30 -10

，…（12分）
當且僅當t=

50•375

t

即t=25

30

∈(100，150)，
∴AP=25

30

-100時，∠BPD最大．…（14分）

點評：本題考查解三角形的實際應(yīng)用，考查和角的正切公式，考查基本不等式的運用，求出tan∠BPD是關(guān)鍵．