Question

直四棱柱中，底面是等腰梯形，，，為的中點，為中點．

 (1) 求證：；

(2) 若，求與平面所成角的大小

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：連結AD₁，在△ABD₁中

∵E是BD₁的中點，F(xiàn)是BA中點，

∴EF//AD₁

又EF⊄平面ADD₁A₁，AD₁⊂平面ADD₁A₁

∴EF∥平面ADD₁A₁.

(2)解法1：延長D₁A₁至H，使A₁H＝D₁A₁，延長DA至G，使AG＝DA，并連結HG和A₁G，則A₁G∥D₁A∥EF

 

 

∴A₁G∥平面DEF，

∴A₁到平面DEF的距離等于G到平面DEF的距離，設為x

由題意可得，DF＝BC＝AD＝1，連DB，在Rt△D₁DB中，DE＝D₁B

又DB＝，且DD₁＝，

∴DE＝，

又EF＝AD₁＝，

在△DEF中，由余弦定理得：

cos∠EDF＝

∴S_△DEF＝，

又點E到平面DGF的距離d＝DD₁＝

 

不難證明∠DFG是Rt△(∵FA＝DG)

∴S_△DFG＝×DF×FG＝×1×

由V_E－DGF＝V_G－DEF得，x·S_△DEF＝d·S_△DFG，

∴即A₁到平面DEF的距離為，

設A₁F與平面DEF成α角，則

sinα＝，∴α＝arcsin，

即A₁F與平面DEF所成角的大小為arcsin.

【解析】略