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選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）

已知矩陣M

（１）求矩陣M的逆矩陣；

（２）求矩陣M的特征值及特征向量；

【答案】

⑴．⑵特征值對應(yīng)的特征向量為．

【解析】本試題主要考查了逆矩陣的求解，以及矩陣的特征向量和特征值的綜合求解運(yùn)用。根據(jù)求解逆矩陣的公式得到第一問，對于第二問中，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，得到不同情況下的結(jié)論。

解：⑴．……………………………………………………………………4分

⑵ 矩陣A的特征多項式為，

令，得矩陣的特征值為或，…………………………………………6分

當(dāng)時由二元一次方程得，令，則，

所以特征值對應(yīng)的特征向量為．……………………………………8分

當(dāng)時由二元一次方程得，令，則，

所以特征值對應(yīng)的特征向量為．……………………………………10分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對應(yīng)的特征向量分別為e1=

和e2=

．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2sinθ

y=cosθ

(θ為參數(shù)），C₂的參數(shù)方程為

x=2t

y=t+1

(t為參數(shù)）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過極點且與C′₂垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

f(x)+m

的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T是將平面上每個點M（x，y）的橫坐標(biāo)乘2，縱坐標(biāo)乘4，變到點M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x²+y²=1在變換T的作用下變成了什么圖形？
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極點與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C₁的極坐標(biāo)方程為：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直線?的參數(shù)方程為：

x=1-

y=t

（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線?上有一定點P（1，0），曲線C₁與?交于M，N兩點，求|PM|．|PN|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a²+

b2+

c2+m-1=0．
（Ⅰ）求證：a²+

b2+

c2≥

(a+b+c)2

；
（Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年福建省高三第八次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分

（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換

變換是將平面上每個點的橫坐標(biāo)乘，縱坐標(biāo)乘，變到點.

（Ⅰ）求變換的矩陣；

（Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極點與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線的極坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線上有一定點，曲線與交于M，N兩點，求的值．

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講

已知為實數(shù)，且

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省福州三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對應(yīng)的特征向量分別為

．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C₁的參數(shù)方程為

為參數(shù)），C₂的參數(shù)方程為

為參數(shù)）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點的橫坐標(biāo)都縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過極點且與C′₂垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若