Question

已知函數(shù)f（x）=lnx﹣，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）若g（x）在其定義域內為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（3）設函數(shù)h（x）=x²﹣mx+4，當a=2時，若∈（0，1），x₂∈[1，2]，總有g（）≥h（x₂）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），且，
①當a≥0時，f'（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上單調遞增；
②當a＞0時，由f'（x）＞0，得x＞﹣a；由f'（x）＜0，得x＜﹣a；
故f（x）在（0，﹣a）上單調遞減，在（﹣a，+∞）上單調遞增．
（2）g（x）=ax﹣，g（x）的定義域為（0，+∞），
﹣=，
因為g（x）在其定義域內為增函數(shù)，所以x∈（0，+∞），g'（x）≥0，
∴ax²﹣5x+a≥0，
∴a（x²+1）≥5x，即，
∴．
∵，當且僅當x=1時取等號，
所以a．
（3）當a=2時，g（x）=2x﹣，，
由g'（x）=0，得x=或x=2．
當時，g'（x）≥0；
當x時，g'（x）＜0．
所以在（0，1）上，，
而“∈（0，1），x₂∈[1，2]，總有g（）≥h（x₂）成立”等價于“g（x）在
（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值為max{h（1），h（2）}，
所以有，
∴，
∴，
解得m≥8﹣5ln2，
所以實數(shù)m的取值范圍是[8﹣5ln2，+∞）．