Question

10．二次函數(shù)f（x）的圖象過點為A（-1，-16），且f（x）≤0的解集為{x|-5≤x≤3}，g（x）=2x²+ax+1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥0；
（3）若不等式xf（x）≥g（x）在區(qū)間x∈[1，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件可設(shè)f（x）=a（x-3）（x+5），（a＞0），代入A的坐標(biāo)，可得a=1，求得f（x）的解析式；
（2）求得判別式，討論大于0和小于等于0，求得兩根，可得解集；
（3）由題意可得a+15≤x²-$\frac{1}{x}$在[1，2]的最小值，運用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的單調(diào)性，可得最小值，解a的不等式，即可得到范圍．

解答 解：（1）f（x）≤0的解集為{x|-5≤x≤3}，
可設(shè)f（x）=a（x-3）（x+5），（a＞0），
代入A（-1，-16），可得-16a=-16，
解得a=1，則f（x）=x²+2x-15；
（2）2x²+ax+1≥0，
當(dāng)判別式△=a²-8≤0，即-2$\sqrt{2}$≤a≤2$\sqrt{2}$時，
不等式的解集為R；
當(dāng)a＞2$\sqrt{2}$或a＜-2$\sqrt{2}$時，求得x_1，2=$\frac{-a±\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$，
可得解集為{x|x≥$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$或x≤$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{4}$}；
（3）不等式xf（x）≥g（x）在區(qū)間x∈[1，2]上恒成立，
即為x（x²+2x-15）≥2x²+ax+1，
即有a+15≤x²-$\frac{1}{x}$在[1，2]的最小值，
由x²-$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在[1，2]恒成立，
即有最小值為0，
則有a+15≤0，解得a≤-15．
即a的取值范圍是（-∞，-15]．

點評 本題考查不等式解法和二次函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用和分類討論的思想方法，屬于中檔題．