Question

（2011•藍(lán)山縣模擬）若函數(shù)f（x）=cos2x+acosx（x∈R）的最小值為-4，則a 的值為

±5

．

Answer 1

分析：由二倍角公式可得f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1，令t=cosx，則-1≤t≤1，則f（t）=2t²+at-1=2（t2+

1

2

at）-1
=2(t+

a

4

)2-

a2

8

-1，要求函數(shù)在[-1，1]上最小值，則需要討論對(duì)稱軸-

a

4

與區(qū)間[-1，1]的位置關(guān)系，分別求解即可

解答：解：∵f（x）=cos2x+acosx=2cos²x+acosx-1
令t=cosx，則-1≤t≤1，f（t）=2t²+at-1=2（t2+

1

2

at）-1
=2(t+

a

4

)2-

a2

8

-1
①當(dāng)-

a

4

≤-1即a≥4時(shí)，t=-1時(shí)函數(shù)有最小值f（-1）=1-a=-4
∴a=5
②當(dāng)-

a

4

≥1即a≤-4時(shí)，t=1時(shí)，函數(shù)有最小值f（1）=1+a=-4
∴a=-5
③當(dāng)-1＜-

a

4

＜1即-4＜a＜4時(shí)，t=-

a

4

時(shí)，函數(shù)有最小值f（-

a

4

）=-1-

a2

8

=-4
∴a=±2

6

（舍去）
綜上可得a=±5
故答案為：±5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二倍角的余弦公式的應(yīng)用，換元法求解函數(shù)的值域，二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值的求解，注意分類討論思想的應(yīng)用