Question

已知函數(shù)，
（1）若k=-1，求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

證明：（1）若k=-1，
則
則
當x∈（0，+∞）時
f′（x）＞0恒成立
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
解：（2）當k=0時，函數(shù)為偶函數(shù)，當k≠0時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，
理由如下：
當k=0時，f（x）=x²，f（-x）=x²
∵f（x）=f（-x）
∴當k=0時，函數(shù)為偶函數(shù)
當k≠0時，，
∵f（x）≠f（-x）且f（x）≠-f（-x）
∴當k≠0時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)
分析：（1）由k=-1，我們可以求出函數(shù)的解析式，進而求出其導函數(shù)的解析式，分析導函數(shù)在x∈（0，+∞）時的符號，可得答案．
（2）當k=0時，f（x）=f（-x），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得此時函數(shù)為偶函數(shù)，當k≠0時，f（x）≠f（-x）且f（x）≠-f（-x），根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得此時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中（1）的關鍵是求出函數(shù)導函數(shù)的解析式，（2）的關鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶的定義．