Question

如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．

（1）求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；

（2）當(dāng)｜AB｜＝2，S＝1時(shí)，求直線AB的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1)1;（2）或或或．

【解析】

試題分析：（1）直線與橢圓（圓錐曲線）相交和直線與圓相交的問題有區(qū)別，直線與圓相交可以利用圓的一些性質(zhì)，用幾何方法解決問題，而直線與橢圓（圓錐曲線）相交只能用解析法解題。這里直接求出兩點(diǎn)有坐標(biāo)（用表示），求出三角形的面積，相當(dāng)于把的面積表示成了的函數(shù)，然后用不等式的知識(shí)或函數(shù)知識(shí)求出最大值。（2）同樣把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得出關(guān)于的二次方程，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是這個(gè)方程的兩解，故必須滿足，而線段的長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)到直線的距離，利用面積，列出關(guān)于的方程組，解出，即直線的方程。

試題解析：解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

由，解得

所以

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．S取到最大值1．

（Ⅱ）解：由得

　　　　　　�、�

｜AB｜＝           ②

又因?yàn)镺到AB的距離　　所以　�、�

③代入②并整理，得

解得，，代入①式檢驗(yàn)，△＞0

故直線AB的方程是

或或或．

考點(diǎn)：直線與橢圓相交，弦長(zhǎng)公式。