Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且f（x）≠0，對(duì)于任意x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂）.

（1）求證：f（x₁-x₂）=；

（2）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）.

Answer 1

思路解析：由于函數(shù)y=a^x具有本題中f（x）的條件與結(jié)構(gòu)，因而在解題時(shí)可以用指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1）為模型類比.

本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì).

（1）證明：∵f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）·f（x₂），又f（x）≠0，∴f（x₁-x₂）=.

（2）解：∵f（1）=2，∴2f（x）=f（1）·f（x）=f（1+x），4f（x）=2·2f（x）=f（1）·f（1+x）=f（2+x）.

那么f（3x）＞4f（x）可化為f（3x）＞f（2+x）.

又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，

由f（3x）＞f（2+x）得3x＞2+x，即x＞1.

故不等式f（3x）＞4f（x）的解集是{x|x＞1}.