Question

20．某校從高一年級隨機抽取了20名學(xué)生第一學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績和物理學(xué)期綜合成績，列表如下：

學(xué)生序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績	96	92	91	91	81	76	82	79	90	93
物理學(xué)期綜合成績	91	94	90	92	90	78	91	71	78	84
學(xué)生序號	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
數(shù)學(xué)學(xué)期綜合成績	68	72	79	70	64	61	63	66	53	59
物理學(xué)期綜合成績	79	78	62	72	62	60	68	72	56	54

規(guī)定：綜合成績不低于90分者為優(yōu)秀，低于90分為不優(yōu)秀．
（Ⅰ）對優(yōu)秀賦分2，對不優(yōu)秀賦分1，從這20名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，若用ξ表示這2名學(xué)生兩科賦分的和，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān)？
附：${K}^{2}=\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意知ξ的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出ξ的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值；
（Ⅱ）根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)，填寫列聯(lián)表，計算K²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，ξ的可能取值為4，5，6，7，8；
又P（ξ=4）=$\frac{{C}_{12}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{33}{95}$，P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{24}{95}$，
P（ξ=6）=$\frac{{C}_{3}^{2}{+C}_{4}^{1}{•C}_{12}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{27}{95}$，P（ξ=7）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{8}{95}$，
P（ξ=8）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$；
所以ξ的分布列為；

ξ	4	5	6	7	8
P	$\frac{33}{95}$	$\frac{24}{95}$	$\frac{27}{95}$	$\frac{8}{95}$	$\frac{3}{95}$

ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=4×$\frac{33}{95}$+5×$\frac{24}{95}$+6×$\frac{27}{95}$+7×$\frac{8}{95}$+8×$\frac{3}{95}$=$\frac{26}{5}$；
（Ⅱ）根據(jù)這次抽查數(shù)據(jù)，列出2×2列聯(lián)表如下：

	數(shù)學(xué)優(yōu)秀	數(shù)學(xué)不優(yōu)秀	合計
物理優(yōu)秀	4	2	6
物理不優(yōu)秀	2	12	14
合計	6	14	20

計算K²=$\frac{{n（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{20{×（4×12-2×2）}^{2}}{6×14×6×14}$≈5.488＞5.024，
所以在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為物理成績與數(shù)學(xué)成績有關(guān)．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是中檔題．