Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-a|x|+3），（a＞0，a≠1）．
（1）若a=4，寫(xiě)出它的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若對(duì)于的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都有f（x₁）-f（x₂）＜0成立，試求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=log₄（x²-4|x|+3），此函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，外層是增函數(shù)，
令x²-4|x|+3＞0可解得x＜-3，或-1＜x＜1，或x＞3，即函數(shù)的定義域是（-∞，-3）∪（-1，1）∪（3，+∞）
又x²-4|x|+3=
∴內(nèi)層函數(shù)在（-1，0）與（3，+∞）上是增函數(shù)
∴復(fù)合函數(shù)f（x）=log_a（x²-a|x|+3）在（-1，0]與（3，+∞）上是增函數(shù)
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0]與（3，+∞）-----（6分）
（2）由題意，易知函數(shù)為偶函數(shù)，則當(dāng)時(shí)為減函數(shù)．
對(duì)于時(shí)，f（x）=log_a（x²-ax+3），（a＞0，a≠1）-----（8分）
設(shè)g（x）=x²-ax+3，由題意得：，或-----（14分）
則2≤a＜4或0＜a＜1-----（16分）
分析：（1）由題意，此題是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，當(dāng)a=4時(shí)，外層是一個(gè)增函數(shù)，所以先求函數(shù)的定義域，再求出內(nèi)層函數(shù)的增區(qū)間即可得到所求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由函數(shù)的解析式知此函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，再由對(duì)于的任意實(shí)數(shù)x₁，x₂都有f（x₁）-f（x₂）＜0成立知此函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，按a的取值范圍分兩類討論，分別求出參數(shù)的取值范圍即可求出實(shí)數(shù)a的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性且能根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷規(guī)則作出準(zhǔn)確判斷，本題難點(diǎn)是第一小題中將內(nèi)層函數(shù)化為分段函數(shù)研究，第二小題是對(duì)函數(shù)在時(shí)單調(diào)性的轉(zhuǎn)化，本題的易錯(cuò)點(diǎn)是忘記求函數(shù)的定義域，本題考察了轉(zhuǎn)化的思想，推理判斷的能力，本考點(diǎn)是高考中�？嫉念}