Question

17．直線y=a與y=2x-3及曲線y=x+e^x分別交于A、B兩點，則|AB|的最小值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． e
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 設A（x₁，a），B（x₂，a），則2x₁-3=x₂+e^x₂，表示出x₁，求出|AB|，利用導數(shù)求出|AB|的最小值

解答 解：設A（x₁，a），B（x₂，a），
則2x₁-3=x₂+e^x₂，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+e^x₂+3），
∴|AB|=|x₂-x₁|=|$\frac{1}{2}$（x₂-e^x₂-3）|，
令y=$\frac{1}{2}$（x-e^x-3），
則y′=$\frac{1}{2}$（1-e^x），
∴函數(shù)在（0，+∞）上單調遞減，在（-∞，0）上單調遞增，
∴x=0時，函數(shù)y的最大值為-2，
即有|AB|的最小值為2．
故選：D

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確求導確定函數(shù)的單調性是關鍵．