Question

已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²+x，g（x）=x•e^x-x²-1（x＞0），且f（x）點x=1處取得極值．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=-

5

2

x+b在區(qū)間[1，3]上有解，求b的取值范圍；
（Ⅲ）證明：g（x）≥f（x）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）通過求導得f'（1）=0，則得a=0．經(jīng)檢驗符合題意；                     
（Ⅱ）由題意得：lnx-x2+

7

2

x=b．令h(x)=lnx-x2+

7

2

x(x＞0)，從而有h(x)∈[

5

2

，ln2+3]，進而求出b的取值范圍；
（Ⅲ）證明：令F（x）=g（x）-f（x）=x•e^x-lnx-x-1（x＞0），則F′(x)=(x+1)•ex-

1

x

-1=

(x+1)

x

•(x•ex-1)，得到F（x）≥F（c）=0，從而證得g（x）≥f（x）．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（x+a）-x²+x，
∴f′(x)=

1

x+a

-2x+1
∵函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²+x在點x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，即當x=1時

1

x+a

-2x+1=0，
∴

1

1+a

-1=0，則得a=0．經(jīng)檢驗符合題意；                     
（Ⅱ）∵f(x)=-

5

2

x+b，∴lnx-x2+x=-

5

2

x+b，
∴lnx-x2+

7

2

x=b．
令h(x)=lnx-x2+

7

2

x(x＞0)，
則h′(x)=

1

x

-2x+

7

2

=-

(4x+1)(x-2)

2x

．
∴當x∈[1，3]時，h'（x），h（x）隨x的變化情況表：

x	1	（1，2）	2	（2，3）	…（8分） 3
h'（x）		+	0	-
h（x）		↗	極大值	↘

計算得：h(1)=

5

2

，h(3)=ln3+

3

2

＞

5

2

，h（2）=ln2+3，
∴h(x)∈[

5

2

，ln2+3]
所以b的取值范圍為[

5

2

，ln2+3]．                        
（Ⅲ）證明：令F（x）=g（x）-f（x）=x•e^x-lnx-x-1（x＞0），
則F′(x)=(x+1)•ex-

1

x

-1=

(x+1)

x

•(x•ex-1)，
令G（x）=x•e^x-1，則∵G'（x）=（x+1）•e^x＞0（x＞0），
∴函數(shù)G（x）在（0，+∞）遞增，G（x）在（0，+∞）上的零點最多一個，
又∵G（0）=-1＜0，G（1）=e-1＞0，
∴存在唯一的c∈（0，1）使得G（c）=0，
且當x∈（0，c）時，G（x）＜0；當x∈（c，+∞）時，G（x）＞0．
即當x∈（0，c）時，F(xiàn)'（x）＜0；當x∈（c，+∞）時，F(xiàn)'（x）＞0．
∴F（x）在（0，c）遞減，在（c，+∞）遞增，
從而F（x）≥F（c）=c•e^c-lnc-c-1．
由G（c）=0得c•e^c-1=0即c•e^c=1，兩邊取對數(shù)得：lnc+c=0，
∴F（c）=0，∴F（x）≥F（c）=0，
從而證得g（x）≥f（x）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導數(shù)的應用，考查不等式的證明，是一道綜合題．