Question

已知0＜α＜π,證明2sin2α≤,并指出什么時(shí)候取等號.

Answer 1

證法一:令tan=t>0,(∵0<<)

原不等式變?yōu)?·2·≤.

以t(1+t²)²>0乘不等式兩端,問題變?yōu)樽C明8t²(1-t²)≤(1+t²)²,

即-9t⁴+6t²-1≤0,

-(3t²-1)²≤0.

∴不等式成立.

當(dāng)且僅當(dāng)t²=即tan=時(shí),即α=60°時(shí),原不等式變?yōu)榈仁?

證法二:將原不等式兩端同乘以sin>0,則問題化為證明不等式2sin2αsin≤cos.

而2sin2αsin=2·(2sinαcosα)·sin

=4·(2sincos)(1-2sin²)sin

=8cos (sin²-2sin⁴)

=8cos［-2(sin²-)²］

=cos-16cos (sin²-)²≤cos.

其中“≤”符號是由于cos>0,(sin²-)²≥0.

上式中的等號當(dāng)且僅當(dāng)sin²-=0時(shí)成立,即sin²=0,

∴sin= (-舍去).∴α=.