Question

兩直線分別繞著定點(diǎn)A和B(|AB|=2a)在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)保持相互垂直,求兩直線的交點(diǎn)P的軌跡方程.

Answer 1

錯(cuò)解:取直線AB為x軸,取線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則A(-a,0)、B(a,0),交點(diǎn)P屬于集合C={P|PA⊥PB}={P|k_PA·k_PB=-1}.設(shè)P(x,y),則k_PA=(x≠-a),k_PB=(x≠a),故·=-1,即x²+y²=a²(x≠±a).

剖析:要知道,當(dāng)PA⊥x軸且另一直線與x軸重合時(shí),仍有兩直線互相垂直,此時(shí)兩直線交點(diǎn)為A.同樣,PB⊥x軸,且另一直線與x軸重合時(shí),此時(shí)兩直線交點(diǎn)為B.因而,A(-a,0)與B(a,0)應(yīng)為所求方程的解.上述解答中漏掉了斜率不存在而另一條直線的斜率為零的情況也滿足要求,故錯(cuò).

正解:取直線AB為x軸,取線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則A(-a,0)、B(a,0),P屬于集合C={P||PA|²+|PB|²=|AB|²}.設(shè)P(x,y),則(x+a)²+y²+(x-a)²+y²=(2a)²,化簡(jiǎn)得x²+y²=a².

這就是兩直線的交點(diǎn)P的軌跡方程.