Question

（2012•遼寧模擬）函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞

1

2

，則不等式f（x）＜

x+1

2

的解集為

（-∞，1）．

．

Answer 1

分析：由f'（x）＞

1

2

，f（x）＜

x+1

2

可抽象出一個新函數(shù)g（x），利用新函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性）解決問題，即可得到答案．

解答：解：設(shè)g（x）=f（x）-

x+1

2

，
因為f（1）=1，f'（x）＞

1

2

，
所以g（1）=f（1）-1=0，g′（x）=f′（x）-

1

2

＞0，
所以g（x）在R上是增函數(shù)，且g（1）=0．
所以f（x）＜

x+1

2

的解集即是g（x）＜0=g（1）的解集．
∴x＜1．
故答案為：（-∞，1）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解決此類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

x+1

2

，，然后利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，從而解決問題，屬于中檔題．