Question

如圖，在直三棱柱（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，平面側(cè)面，,，且滿足.

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)的距離；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析，（2），（3）

【解析】

試題分析：如何用平面側(cè)面？由面面垂直的性質(zhì)定理，過(guò)作，垂足為，可知，有，又，則，于是即可；第二步求點(diǎn)到直線的距離有兩種方法：（1）利用體積相等，（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，直接求法向量，用公式；第三步求二面角的平面角的余弦值可運(yùn)用求法向量的方法求之.

試題解析：（1）證明：如右圖，過(guò)作，垂足為，因平面側(cè)面， 且平面側(cè)面，可知，有，又，，則,又平面，所以.因?yàn)槿�棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，則底面，所以.又,從而側(cè)面，又側(cè)面，故

.

（2）由（1）知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸、軸、軸，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ，

又由線段上分別有一點(diǎn)，滿足，所以，，

所以,

所以點(diǎn)的距離.

（3）設(shè)平面 的法向量為，易知平面 的法向量可以為.由，令，則，可得平面 的一個(gè)法向量可為，設(shè)與的夾角為.則，易知二面角的平面角為鈍角，故應(yīng)為角的補(bǔ)角，所以其余弦值為.

考點(diǎn)：1.線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉(zhuǎn)化；2.求點(diǎn)到平面距離；3.二面角；