Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足sinA+

3

cosA=2．
（1）求A的大��；
（2）現(xiàn)給出三個(gè)條件：①a=2； ②c=

3

b；③B=45°．
試從中選出兩個(gè)可以確定△ABC的條件，寫(xiě)出你的選擇并以此為依據(jù)求△ABC的面積．（只需寫(xiě)出一個(gè)選定方案即可，選多種方案以第一種方案記分）

Answer 1

分析：（1）把已知等式的左邊提取2，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，求出sin（A+

π

3

）的值，由A的范圍，得到A+

π

3

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）若選條件①和③，由a及B的度數(shù)，及第一問(wèn)求出的A的度數(shù)，利用正弦定理求出b的值，然后由A+B+C=π及誘導(dǎo)公式得到sinC=sin（A+B），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入即可求出sinC的值，由a，b及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；若選條件①和②，由a，c=

3

b及cosA的值，利用余弦定理列出關(guān)于b的方程，求出方程的解得到b的值，進(jìn)而求出c的值，由b，c及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積；若選條件②和③，根據(jù)正弦定理得到sinC大于1，不成立．故前兩種情況選擇一種方案即可．

解答：解：（1）依題意得：sinA+

3

cosA=2（

1

2

sinA+

3

2

cosA）=2sin（A+

π

3

）=2，
即sin(A+

π

3

)=1，（3分）
∵0＜A＜π，
∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

，
∴A+

π

3

=

π

2

，
∴A=

π

6

；（5分）
（2）方案一：選條件①和②，（6分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，得b=

a

sinA

sinB=2

2

，（8分）
∵A+B+C=π，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

2 + 6

4

，（11分）
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×2×2

2

×

2 + 6

4

=

3

+1．（13分）
方案二：選條件①和③，（6分）
由余弦定理b²+c²-2bccosA=a²，有b²+3b²-3b²=4，則b=2，c=2

3

，（10分）
所以S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．（13分）
說(shuō)明：若選條件②和③，由c=

3

b得，sinC=

3

sinB=

6

2

＞1，不成立，這樣的三角形不存在．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，誘導(dǎo)公式以及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．