Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面△PBC是等邊三角形，且平面PBC⊥平面ABCD，∠ABC=45°，AB=，BC=4，E、F分別為PB、PA的中點(diǎn)．

(1)求異面直線BC與PA所成的角；

(2)求二面角P-EC-D的大小；

(3)求點(diǎn)A到截面EFDC的距離．

第19題圖

Answer 1

答案：(1)如圖所示，取BC的中點(diǎn)0，在△ABO中，得AO=2，知AO⊥BC，又PO⊥BC，∴BC⊥平面PAO，

∴BC⊥PA，即BC與PA所成的角為90°．

第19題圖

(2)以向量、、分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)，則A(2，0，0)，B(0，-2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，)，E(0，-1，)

∵平面PEC的法向量為=(1，0，0)，

設(shè)平面ECD的法向量為n=(x，y，z)，

則n·=0，即z=                                                        ①

n·=0，即x+y=0                                                            ②

由①②，令y=1，得n=(-1，1，)，

∴cos＜，n＞=,

故二面角P-EC-D的大小是arccos.

(3)∵=(0，-4，0)，則A到平面EFDC的距離

d=.