Question

8．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）上的點到直線x-y-5=0的最短距離；
（2）對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）考慮與與直線x-y-5=0平行且與曲線f（x）相切的切線的距離最短，由導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，解方程可得切點坐標(biāo)，再由點到直線的距離公式，計算即可得到；
（2）對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，即為k＜lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，令g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，得到極小值也為最小值，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）設(shè)與直線x-y-5=0平行且與曲線f（x）相切的切點為（m，mlnm），
則f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，
則切線的斜率為k=1+lnm=1，
解得m=1，
即有切點為（1，0），
則切點到直線x-y-1=0的距離為d=$\frac{|1-0-5|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故所求最短距離為2$\sqrt{2}$；
（2）對于任意正實數(shù)x，不等式f（x）＞kx-$\frac{1}{2}$恒成立，
即為k＜lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，
令g（x）=lnx+$\frac{1}{2x}$，x＞0，則g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，
在（0，$\frac{1}{2}$）上，g′（x）＜0，g（x）遞減；在（$\frac{1}{2}$，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）遞增．
即有g(shù)（x）在x=$\frac{1}{2}$處取得極小值，且為最小值1-ln2，
則k＜1-ln2．
故實數(shù)k的取值范圍是（-∞，1-ln2）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查不等式恒成立問題，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)的方法，考查運算能力，屬于中檔題．