Question

設(shè)雙曲線nx²-（n+1）y²=1（n∈N^*）上動點P到定點Q（1，0）的距離的最小值為d_n，則

lim

n→+∞

dn的值為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  1

  2

• C、0
• D、1

Answer 1

分析：設(shè)動點P（x，y），由Q（1，0），利用兩點間距離公式求出|PQ|=

x2-2x+1+ n n+1 x2- 1 n+1

，再由極限知識和一元二次方程性質(zhì)和配方法能求出

lim

n→+∞

dn．

解答：解：設(shè)動點P（x，y），則nx²-（n+1）y²=1，
∴y²=

nx2-1

n+1

，
∵Q（1，0），
∴|PQ|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+ nx2-1 n+1

=

x2-2x+1+ n n+1 x2- 1 n+1

，
∴

lim

n→+∞

dn=（

lim

n→+∞

x2-2x+1+ n n+1 x2- 1 n+1

）_min
=(

2x2-2x+1

)min
=(

2(x- 1 2 )2+ 1 2

)min
=

2

2

．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到兩點間知識公式、極限、雙曲線、一元二次方程性質(zhì)等知識點，解題時要注意配方法的合理運用．