Question

容器A內(nèi)裝有6升質(zhì)量分數(shù)為20%的鹽水溶液，容器B內(nèi)裝有4升質(zhì)量分數(shù)為5%的鹽水溶液，先將A內(nèi)的鹽水倒1升進入B內(nèi)，再將B內(nèi)的鹽水倒1升進入A內(nèi)，稱為一次操作；這樣反復操作n次，A、B容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分數(shù)分別為a_n，b_n，
（1）求a₁、b₁，并證明{a_n-b_n}是等比數(shù)列；
（2）至少操作多少次，A、B兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）；
（3）求a_n、b_n的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：應用題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）先根據(jù)條件求出b₁=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a₁=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；b_n+1=

an+4bn

5

，a_n+1=

1

6

（5a_n+b_n+1）=

26an+4bn

30

，即可證明{a_n-b_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）知a_n-b_n=

1

10

×(

2

3

)n-1，再結合鹽水濃度之差小于1%，借助于對數(shù)的性質(zhì)解不等式即可求出答案．
（3）先根據(jù)b_n+1=

1

5

[b_n+

1

10

×(

2

3

)n-1+4b_n]，可得b_n+1-b_n=

3

100

×(

2

3

)n，利用疊加法，即可求出b_n的通項以及a_n的表達式．

解答： 解：（1）由題意，b₁=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a₁=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；
∵b_n+1=

an+4bn

5

，a_n+1=

1

6

（5a_n+b_n+1）=

26an+4bn

30

，
∴a_n+1-b_n+1=

2

3

（a_n-b_n）
∴{a_n-b_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）知a_n-b_n=

1

10

×(

2

3

)n-1，
∴

1

10

×(

2

3

)n-1＜1%，
∴n-1＞

1

lg3-lg2

≈5.7
∴n≥7，故至少操作7次；
（3）∵b_n+1=

1

5

[b_n+

1

10

×(

2

3

)n-1+4b_n]，
∴b_n+1-b_n=

3

100

×(

2

3

)n
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=

2

25

+

3

100

×[

2

3

+…+(

2

3

)n-1]=-

3

100

×(

2

3

)n+

7

50

，
∴a_n=b_n+

1

10

×(

2

3

)n-1=

3

50

×(

2

3

)n+

7

50

．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，根據(jù)題意找到兩種容器內(nèi)的鹽水濃度的差b_n-a_n的規(guī)律是關鍵．