Question

2．已知函數g（x）=lnx和函數f（x）=-x²+（a+1）x-$\frac{1}{4}$a²（其中a＜0）．
（Ⅰ）求g（log₂10•lg2）的值；
（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值，設函數h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），討論函數h（x）零點的個數．

Answer 1

分析 （I）運用對數的換底公式和對數的運算性質，即可得到所求值；
（II）對x和a的范圍進行討論，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調性，利用單調性及最值判斷f（x），g（x）的零點個數，從而得出h（x）的零點個數．

解答 解：（Ⅰ）g（log₂10•lg2）=g（$\frac{1}{lg2}$•lg2）=g（1）=ln1=0；
（Ⅱ）①當x=1時，g（1）=0，
所以1為g（x）的一個零點．
f（1）=a-$\frac{1}{4}$a²，
由于a＜0，則f（1）＜0，
所以當a＜0時，h（x）=max{f（x），g（x）}有一個零點；
②當0＜x＜1時，g（x）＜0，g（x）在（0，1）上無零點．
所以h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，1）上的零點個數就是f（x）在（0，1）上的零點個數．
當a＜0時，△=（a+1）²-a²=2a+1，f（0）=-$\frac{1}{4}$a²＜0，f（1）＜0，
當2a+1＜0，即a＜-$\frac{1}{2}$時，h（x）無零點；
當2a+1=0，即a=-$\frac{1}{2}$時，h（x）的零點為$\frac{1}{4}$；
當2a+1＞0即-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，h（x）有兩個零點；
③當x＞1時，g（x）＞0，由于f（0）＜0，f（1）＜0，即h（x）無零點．
綜上，當a＜0時，x=1，h（x）有1個零點；
當0＜x＜1時，a＜-$\frac{1}{2}$時，h（x）無零點；
a=-$\frac{1}{2}$時，h（x）的零點個數為1；
當-$\frac{1}{2}$＜a＜0時，h（x）有兩個零點；
當x＞1時，h（x）無零點．

點評 本題考查函數值的求法，考查函數的零點個數問題，注意運用分類討論思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．