Question

7．點(diǎn)F（c，0）為雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線(xiàn)左支上一點(diǎn)，線(xiàn)段PF與圓（x-$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{^{2}}{9}$相切于點(diǎn)Q，且$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，則雙曲線(xiàn)的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F₁，分析可得PF₁⊥PF，|PF₁|=b，|PF|=2a+b，由此可得b=2a，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得有c=$\sqrt{5}$a，結(jié)合雙曲線(xiàn)的離心率公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F₁，連接F₁，
設(shè)圓的圓心為C，圓的方程為（x-$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{^{2}}{9}$的圓心為（$\frac{c}{3}$，0），半徑r=$\frac{3}$，
則有|F₁F|=3|FC|，
若$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{QF}$，則PF₁∥QC，|PF₁|=b，|PF|=2a+b；
線(xiàn)段PF與圓（x-$\frac{c}{3}$）²+y²=$\frac{^{2}}{9}$相切于點(diǎn)Q，則CQ⊥PF以及PF₁⊥PF，
則有b²+（2a+b）²=4c²，
即b²+（2a+b）²=4（a²+b²），
即b=2a，
由雙曲線(xiàn)的性質(zhì)有c=$\sqrt{5}$a，
則雙曲線(xiàn)的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是分析雙曲線(xiàn)、直線(xiàn)與圓的關(guān)系．