Question

已知函數(shù) f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（Ⅰ）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=f（x）相切，切點(diǎn)是P（2，0），求直線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

（I）因?yàn)榍悬c(diǎn)是P（2，0），
∴f(2)=aln2-2(a+1)+

1

2

×22=0，∴a=0，
∴函數(shù)f（x）=

1

2

x2-x，又f′（x）=x-1，
所以切線(xiàn)的斜率為：f′（2）=1．
所以切線(xiàn)l的方程為y=x-2．
函數(shù) f(x)=alnx-(a+1)x+

1

2

x2(a≥0)．
（II）由題意得，f′（x）=

a

x

-（1+a）+x=

(x-1)(x-a)

x

（x＞0）
由f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜a或x＞1；
令f′（x）＜0，x＞0，可得a＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，a）和（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
②當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=

(x-1)2

x

≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
③當(dāng)a＞1時(shí)，令f′（x）＞0，x＞0，可得0＜x＜1或x＞a；
令f′（x）＜0，x＞0，可得1＜x＜a
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1）和（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（1，a）．