Question

在平面直角坐標系xOy中，點P是第一象限內曲線y=-x³+1上的一個動點，點P處的切線與兩個坐標軸交于A，B兩點，則△AOB的面積的最小值為______．

Answer 1

根據(jù)題意設P的坐標為（t，-t³+1），且0＜t＜1，
求導得：y′=-3x²，故切線的斜率k=y′_|x=t=-3t²，
所以切線方程為：y-（-t³+1）=-3t²（x-t），
令x=0，解得：y=2t³+1；令y=0，解得：x=

2t3+1

3t2

，
所以△AOB的面積S=

1

2

（2t³+1）•

2t3+1

3t2

=

1

6

(2t2+

1

t

) 2，
設y=2t²+

1

t

=2t²+

1

2t

+

1

2t

≥3

3	2t2•  1 2t • 1 2t

，
當且僅當2t²=

1

2t

，即t³=

1

4

，即t=

3	1 4

取等號，
把t=

3	1 4

代入得：S_min=

3 3 2

4

．
故答案為：

3 3 2

4