Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=45°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，點E為AB上一點，且$\frac{AE}{AB}$=k，點F為PD中點．
（Ⅰ）若k=$\frac{1}{2}$，求證：直線AF∥平面PEC；
（Ⅱ）是否存在一個常數(shù)k，使得平面PED⊥平面PAB，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k=$\frac{1}{2}$，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明直線AF∥平面PEC；
（Ⅱ）根據(jù)面面垂直的條件，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：作FM∥CD交PC于M．
∵點F為PD中點，
∴FM=$\frac{1}{2}$CD．
∵k=$\frac{1}{2}$，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=FM，
又∵FM∥CD∥AB，
∴AEMF為平行四邊形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直線AF∥平面PEC．…（6分）
（Ⅱ）存在常數(shù)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，使得平面PED⊥平面PAB．…（8分）
∵$\frac{AE}{AB}=k$，AB=1，k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵∠DAB=45°，∴AB⊥DE．
又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB．
又∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，
∵AB?平面PAB，
∴平面PED⊥平面PAB．…（12分）

點評 本題主要考查空間直線和平面平行的判定依據(jù)面面垂直的應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．